Некоторые улитки являются горами. Все горы любят кошек. Значит, все улитки любят кошек.
а) правильно
б) неправильно
Правильный ответ: б
Все крокодилы умеют летать. Все великаны являются крокодилами. Значит, все великаны могут летать.
а) правильно
б) неправильно
Правильный ответ: а
Некоторые головки капусты — паровозы. Некоторые паровозы играют на рояле. Значит, некоторые головки капусты играют на рояле.
a) правильно
б) неправильно
Правильный ответ: б
Никто из людей не может стать президентом, если у него красный нос. У всех людей нос красный. Значит, никто из людей не может стать президентом.
а) правильно
б) неправильно
Правильный ответ: а
Все вороны собирают картины. Некоторые собиратели картин сидят в птичьей клетке. Значит, некоторые вороны сидят в птичьей клетке.
a) правильно
б) неправильно
Правильный ответ: б
Все воробьи не умеют летать.У всех воробьев есть ноги.
а) без ног воробьи не могут летать
б) некоторые воробьи не имеют ног
в) все воробьи, у которых есть ноги, не могут летать
г) воробьи не могут летать, потому что у них есть ноги
д) воробьи не могут летать и у них нет ног
е) ни одно из вышеперечисленных
Правильный ответ: в
Каждый квадрат круглый. Все квадраты красные.
а) бывают квадраты с красными углами
б) бывают квадраты с круглыми углами
в) бывают круглые красные углы
г) углы и квадраты — круглые и красные
д) ни одно из вышеперечисленных
Правильный ответ: д
Хорошие начальники падают с неба. Плохие начальники могут петь.
а) плохие начальники летят с неба вниз.
б) хорошие начальники, которые умеют летать — могут петь.
в) некоторые плохие начальники не могут петь.
г) некоторые хорошие начальники -плохие, так как они умеют петь.
д) ни одно из вышеперечисленных
Правильный ответ: д
Сделайте выводы из следующих утверждений:
( a ) Все мюмзики серые или бурые. Этот мюмзик не бурый. Этот мюмзик...
( b ) Все зелюки обитают в мове. Шалтай не обитает в мове. Шалтай...
( c ) Если варкается, то шорьки пыряются по наве. В 16 часов всегда варка- ется. В 16 часов...
(a) Все мюмзики серые или бурые. Этот мюмзик не бурый. Этот мюмзик...
( a ) Все мюмзики серые или бурые. Этот мюмзик не бурый. Этот мюмзик...
( b ) Все зелюки обитают в мове. Шалтай не обитает в мове. Шалтай...
( c ) Если варкается, то шорьки пыряются по наве. В 16 часов всегда варка- ется. В 16 часов...
(a) Все мюмзики серые или бурые. Этот мюмзик не бурый. Этот мюмзик...
- Из первого предложения мы знаем, что все мюмзики бывают либо серыми, либо бурыми.
- Из второго предложения следует, что этот конкретный мюмзик не бурый.
- Следовательно, этот мюмзик серый.
- Из первого предложения следует, что если кто-то является зелюком, то он обязательно обитает в мове.
- Из второго предложения мы узнаем, что Шалтай не обитает в мове.
- Следовательно, Шалтай не является зелюком.
- Из первого предложения следует, что если происходит "варкается", то шорьки обязательно "пыряются по наве".
- Во втором предложении говорится, что в 16 часов всегда "варкается".
- Следовательно, в 16 часов шорьки пыряются по наве.
- Этот мюмзик серый.
- Шалтай не является зелюком.
- В 16 часов шорьки пыряются по наве.
Определение: Отрицание к утверждению А — это такое утверждение Б, которое неверно если А верно и, наоборот, верно если А неверно. То есть для любой ситуации должно подходить ровно одно из утверждений А или Б.
1. Сформулируйте отрицания к следующим утверждениям (нужно сформулиро- вать именно противоречащее утверждение, просто подставить «не» в нужное место — не считается за решение):
( a ) В корзине лежит 8 яблок;
(b) n<9;
( c ) Этот пирожок с малиной или с яблоками;
( d ) Маша и Глаша умеют кататься на коньках;
( e ) Ипполиту не 70 лет;
( f ) Завтра не будет математики и будет география.
(a) В корзине лежит 8 яблок.
1. Сформулируйте отрицания к следующим утверждениям (нужно сформулиро- вать именно противоречащее утверждение, просто подставить «не» в нужное место — не считается за решение):
( a ) В корзине лежит 8 яблок;
(b) n<9;
( c ) Этот пирожок с малиной или с яблоками;
( d ) Маша и Глаша умеют кататься на коньках;
( e ) Ипполиту не 70 лет;
( f ) Завтра не будет математики и будет география.
(a) В корзине лежит 8 яблок.
- Отрицание: В корзине лежит не 8 яблок (то есть, количество яблок отличается от 8 — их может быть меньше или больше).
- Отрицание: n≥9 (то есть, n либо равно 9, либо больше 9).
- Отрицание: Этот пирожок не с малиной и не с яблоками (в пирожке нет ни малины, ни яблок).
- Отрицание: Либо Маша не умеет кататься на коньках, либо Глаша не умеет кататься на коньках, либо обе не умеют (то есть, хотя бы одна из них не умеет).
- Отрицание: Ипполиту 70 лет.
- Отрицание: Завтра будет математика или не будет географии (то есть, хотя бы одно из этих событий не соответствует исходному утверждению).
- В корзине лежит не 8 яблок.
- n≥9.
- Этот пирожок не с малиной и не с яблоками.
- Хотя бы одна из них (Маша или Глаша) не умеет кататься на коньках.
- Ипполиту 70 лет.
- Завтра будет математика или не будет географии.
Определение: Отрицание к утверждению А — это такое утверждение Б, которое неверно если А верно и, наоборот, верно если А неверно. То есть для любой ситуации должно подходить ровно одно из утверждений А или Б.
Назовем преподавателя злым, если:
(a) Он не поставил ни одной пятерки и ни одной четверки.
(b) Хотя бы один ученик получил не больше двух пятерок.
(c) Каждый ученик получил меньше четырех пятерок.
(d) Хотя бы одну положительную оценку никто не получил.
(e) Каждую положительную оценку кто-нибудь не получил.
(a) Преподаватель злой, если он не поставил ни одной пятерки и ни одной четверки.
Назовем преподавателя злым, если:
(a) Он не поставил ни одной пятерки и ни одной четверки.
(b) Хотя бы один ученик получил не больше двух пятерок.
(c) Каждый ученик получил меньше четырех пятерок.
(d) Хотя бы одну положительную оценку никто не получил.
(e) Каждую положительную оценку кто-нибудь не получил.
(a) Преподаватель злой, если он не поставил ни одной пятерки и ни одной четверки.
- Отрицание: Преподаватель поставил хотя бы одну пятерку или хотя бы одну четверку. (Если он поставил хотя бы одну пятерку или хотя бы одну четверку, то он не является злым по этому критерию.)
- Отрицание: Все ученики получили больше двух пятерок. (То есть если нет ни одного ученика, который получил бы не больше двух пятерок, то преподаватель не является злым.)
- Отрицание: Хотя бы один ученик получил четыре или больше пятерок. (Если хотя бы один ученик получил четыре или больше пятерок, то преподаватель не является злым по этому критерию.)
- Отрицание: Все ученики получили хотя бы одну положительную оценку. (Если все ученики получили хотя бы одну положительную оценку, то преподаватель не является злым.)
- Отрицание: Все ученики получили положительную оценку. (Если все ученики получили положительные оценки, то преподаватель не является злым.)
- Преподаватель поставил хотя бы одну пятерку или хотя бы одну четверку.
- Все ученики получили больше двух пятерок.
- Хотя бы один ученик получил четыре или больше пятерок.
- Все ученики получили хотя бы одну положительную оценку.
- Все ученики получили положительные оценки.
Правила логического отрицания
Правила логического отрицания — это ключевой инструмент в логике, который позволяет преобразовывать утверждения в их противоположные (или противоречащие) формы. Отрицание утверждения формулируется так, чтобы если исходное утверждение истинно, его отрицание было ложным, и наоборот. Рассмотрим основные правила логического отрицания.
1. Отрицание простого утверждения
Если исходное утверждение A истинно, то его отрицание, ¬A, ложно, и наоборот:
Пример:
Утверждение: «Завтра будет дождь.»
Отрицание: «Завтра не будет дождя.»
2. Отрицание кванторов
Кванторы — это логические операторы, которые указывают на количество объектов, к которым применимо утверждение (например, «все», «некоторые»).
Отрицание квантора всеобщности (∀)
Если утверждение говорит, что все элементы некоторого множества удовлетворяют условию (квантор «все»), то его отрицание будет утверждать, что хотя бы один элемент не удовлетворяет этому условию.
Пример:
Утверждение: «Все студенты сдали экзамен.» (∀x, студент x сдал экзамен.)
Отрицание: «Некоторые студенты не сдали экзамен.» (Хотя бы один студент не сдал экзамен.)
Отрицание квантора существования (∃)
Если утверждение говорит, что существует хотя бы один элемент, удовлетворяющий условию, то его отрицание будет утверждать, что ни один элемент не удовлетворяет этому условию.
Пример:
Утверждение: «Некоторые студенты сдали экзамен.» (∃x, студент x сдал экзамен.)
Отрицание: «Ни один студент не сдал экзамен.»
3. Отрицание сложных высказываний
Отрицание конъюнкции (логического «И»)
Если утверждение состоит из двух частей, соединенных «и», то отрицание заключается в том, что хотя бы одна из частей неверна.
Формально: ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B.
Пример:
Утверждение: «Идет дождь и светит солнце.»
Отрицание: «Не идет дождь или не светит солнце.» (Достаточно, чтобы хотя бы одно из условий не выполнялось.)
Отрицание дизъюнкции (логического «ИЛИ»)
Если исходное утверждение говорит о том, что верна хотя бы одна из частей (логическое «или»), то его отрицание утверждает, что ни одна из частей не является верной.
Формально: ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B.
Пример:
Утверждение: «Я пойду на работу или буду работать из дома.»
Отрицание: «Я не пойду на работу и не буду работать из дома.» (Оба условия не выполняются.)
4. Отрицание импликации (условного утверждения)
Импликация имеет форму «если A, то B» и обозначается A → B. Отрицание импликации утверждает, что первое условие верно, а второе — неверно.
Формально: ¬(A → B) = A ∧ ¬B.
Пример:
Утверждение: «Если идет дождь, то мне нужен зонт.»
Отрицание: «Идет дождь, но зонт мне не нужен.»
5. Двойное отрицание
Отрицание отрицания восстанавливает исходное утверждение: ¬(¬A) = A.
Пример:
Утверждение: «Это неправда, что я не приду.»
Фактически это означает: «Я приду.»
6. Отрицание «если и только если» (↔)
Для выражений «если и только если» (эквиваленции) отрицание будет утверждать, что одно из утверждений верно, а другое — ложно: ¬(A ↔ B) = (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B).
Пример:
Утверждение: «Ты пойдешь в кино, если и только если я пойду тоже.»
Отрицание: «Ты пойдешь в кино, а я не пойду, или я пойду, а ты не пойдешь.»
Резюме. Отрицание — это противоположное утверждение, которое должно быть верно, если исходное утверждение ложно, и наоборот. Это правило действует на все формы утверждений: простые, с кванторами, логические связки «и», «или», «если», «если и только если».
Правила логического отрицания — это ключевой инструмент в логике, который позволяет преобразовывать утверждения в их противоположные (или противоречащие) формы. Отрицание утверждения формулируется так, чтобы если исходное утверждение истинно, его отрицание было ложным, и наоборот. Рассмотрим основные правила логического отрицания.
1. Отрицание простого утверждения
Если исходное утверждение A истинно, то его отрицание, ¬A, ложно, и наоборот:
Пример:
Утверждение: «Завтра будет дождь.»
Отрицание: «Завтра не будет дождя.»
2. Отрицание кванторов
Кванторы — это логические операторы, которые указывают на количество объектов, к которым применимо утверждение (например, «все», «некоторые»).
Отрицание квантора всеобщности (∀)
Если утверждение говорит, что все элементы некоторого множества удовлетворяют условию (квантор «все»), то его отрицание будет утверждать, что хотя бы один элемент не удовлетворяет этому условию.
Пример:
Утверждение: «Все студенты сдали экзамен.» (∀x, студент x сдал экзамен.)
Отрицание: «Некоторые студенты не сдали экзамен.» (Хотя бы один студент не сдал экзамен.)
Отрицание квантора существования (∃)
Если утверждение говорит, что существует хотя бы один элемент, удовлетворяющий условию, то его отрицание будет утверждать, что ни один элемент не удовлетворяет этому условию.
Пример:
Утверждение: «Некоторые студенты сдали экзамен.» (∃x, студент x сдал экзамен.)
Отрицание: «Ни один студент не сдал экзамен.»
3. Отрицание сложных высказываний
Отрицание конъюнкции (логического «И»)
Если утверждение состоит из двух частей, соединенных «и», то отрицание заключается в том, что хотя бы одна из частей неверна.
Формально: ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B.
Пример:
Утверждение: «Идет дождь и светит солнце.»
Отрицание: «Не идет дождь или не светит солнце.» (Достаточно, чтобы хотя бы одно из условий не выполнялось.)
Отрицание дизъюнкции (логического «ИЛИ»)
Если исходное утверждение говорит о том, что верна хотя бы одна из частей (логическое «или»), то его отрицание утверждает, что ни одна из частей не является верной.
Формально: ¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B.
Пример:
Утверждение: «Я пойду на работу или буду работать из дома.»
Отрицание: «Я не пойду на работу и не буду работать из дома.» (Оба условия не выполняются.)
4. Отрицание импликации (условного утверждения)
Импликация имеет форму «если A, то B» и обозначается A → B. Отрицание импликации утверждает, что первое условие верно, а второе — неверно.
Формально: ¬(A → B) = A ∧ ¬B.
Пример:
Утверждение: «Если идет дождь, то мне нужен зонт.»
Отрицание: «Идет дождь, но зонт мне не нужен.»
5. Двойное отрицание
Отрицание отрицания восстанавливает исходное утверждение: ¬(¬A) = A.
Пример:
Утверждение: «Это неправда, что я не приду.»
Фактически это означает: «Я приду.»
6. Отрицание «если и только если» (↔)
Для выражений «если и только если» (эквиваленции) отрицание будет утверждать, что одно из утверждений верно, а другое — ложно: ¬(A ↔ B) = (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B).
Пример:
Утверждение: «Ты пойдешь в кино, если и только если я пойду тоже.»
Отрицание: «Ты пойдешь в кино, а я не пойду, или я пойду, а ты не пойдешь.»
Резюме. Отрицание — это противоположное утверждение, которое должно быть верно, если исходное утверждение ложно, и наоборот. Это правило действует на все формы утверждений: простые, с кванторами, логические связки «и», «или», «если», «если и только если».
Превращение (Converse) в логическом квадрате
Превращение (или конверсия) — это логическая операция, при которой субъект и предикат меняются местами в суждении. Не все типы суждений могут быть превращены без изменения истинности. Ниже приведён исчерпывающий список превращений для всех типов суждений в логическом квадрате:
1. Универсальное утвердительное суждение (A)
Форма: "Все S есть P"
Пример: "Все кошки — животные".
Превращение: "Некоторые P есть S"
Пример: "Некоторые животные — кошки".
Примечание: Универсальное утвердительное суждение превращается в частное утвердительное. То есть преобразование A → I.
2. Универсальное отрицательное суждение (E)
Форма: "Ни одно S не есть P"
Пример: "Ни один человек не является растением".
Превращение: "Ни одно P не есть S"
Пример: "Ни одно растение не является человеком".
Примечание: Универсальное отрицательное суждение превращается в универсальное отрицательное. Истинность сохраняется. То есть E → E.
3. Частное утвердительное суждение (I)
Форма: "Некоторые S есть P"
Пример: "Некоторые птицы — хищники".
Превращение: "Некоторые P есть S"
Пример: "Некоторые хищники — птицы".
Примечание: Частное утвердительное суждение превращается в частное утвердительное. Истинность сохраняется. То есть I → I.
4. Частное отрицательное суждение (O)
Форма: "Некоторые S не есть P"
Пример: "Некоторые студенты не являются спортсменами".
Превращение: Превращение невозможно.
Пример: нельзя корректно вывести новое утверждение, меняя местами субъект и предикат. То есть O → невозможно.
Резюме превращений
Превращение (или конверсия) — это логическая операция, при которой субъект и предикат меняются местами в суждении. Не все типы суждений могут быть превращены без изменения истинности. Ниже приведён исчерпывающий список превращений для всех типов суждений в логическом квадрате:
1. Универсальное утвердительное суждение (A)
Форма: "Все S есть P"
Пример: "Все кошки — животные".
Превращение: "Некоторые P есть S"
Пример: "Некоторые животные — кошки".
Примечание: Универсальное утвердительное суждение превращается в частное утвердительное. То есть преобразование A → I.
2. Универсальное отрицательное суждение (E)
Форма: "Ни одно S не есть P"
Пример: "Ни один человек не является растением".
Превращение: "Ни одно P не есть S"
Пример: "Ни одно растение не является человеком".
Примечание: Универсальное отрицательное суждение превращается в универсальное отрицательное. Истинность сохраняется. То есть E → E.
3. Частное утвердительное суждение (I)
Форма: "Некоторые S есть P"
Пример: "Некоторые птицы — хищники".
Превращение: "Некоторые P есть S"
Пример: "Некоторые хищники — птицы".
Примечание: Частное утвердительное суждение превращается в частное утвердительное. Истинность сохраняется. То есть I → I.
4. Частное отрицательное суждение (O)
Форма: "Некоторые S не есть P"
Пример: "Некоторые студенты не являются спортсменами".
Превращение: Превращение невозможно.
Пример: нельзя корректно вывести новое утверждение, меняя местами субъект и предикат. То есть O → невозможно.
Резюме превращений
- A (универсальное утвердительное) превращается в I (частное утвердительное).
- E (универсальное отрицательное) превращается в E (универсальное отрицательное).
- I (частное утвердительное) превращается в I (частное утвердительное).
- O (частное отрицательное) превращение невозможно.
Операция Inverse (Инверсия)
Операция Inverse (по-русски — инверсия) в логике — это преобразование, при котором происходит отрицание как посылки, так и заключения исходного утверждения (импликации). То есть, из импликации вида:
"Если P, то Q" (записывается как P → Q)
мы получаем инверсию:
"Если не P, то не Q" (записывается как ¬P → ¬Q).
Инверсия часто используется для переформулировки высказываний, но инвертированное утверждение не всегда является эквивалентным исходному.
Пример:
Логические связи
.
Для понимания поведения инверсии можно построить истинностную таблицу. Рассмотрим импликацию P → Q и её инверсию ¬P → ¬Q:
Инверсия — это логическая операция, которая заключается в отрицании посылки и заключения импликации. Она не сохраняет эквивалентность исходного утверждения и чаще используется для преобразования утверждений в ином контексте.
Операция Inverse (по-русски — инверсия) в логике — это преобразование, при котором происходит отрицание как посылки, так и заключения исходного утверждения (импликации). То есть, из импликации вида:
"Если P, то Q" (записывается как P → Q)
мы получаем инверсию:
"Если не P, то не Q" (записывается как ¬P → ¬Q).
Инверсия часто используется для переформулировки высказываний, но инвертированное утверждение не всегда является эквивалентным исходному.
Пример:
- Исходное утверждение: "Если идёт дождь (P), то улица мокрая (Q)" P → Q.
- Инверсное утверждение: "Если дождя нет (¬P), то улица не мокрая (¬Q)" ¬P → ¬Q.
Логические связи
.
- Инверсия (Inverse): Это отрицание как посылки, так и заключения P → Q становится ¬P → ¬Q, и оно также не эквивалентно исходному утверждению.
Для понимания поведения инверсии можно построить истинностную таблицу. Рассмотрим импликацию P → Q и её инверсию ¬P → ¬Q:
Инверсия — это логическая операция, которая заключается в отрицании посылки и заключения импликации. Она не сохраняет эквивалентность исходного утверждения и чаще используется для преобразования утверждений в ином контексте.
В терминах логического квадрата, операция инверсии (негации) влияет на истинность утверждений по-разному, в зависимости от типа перехода между утверждениями. Давайте дополнительно рассмотрим, как истинность высказываний сохраняется или изменяется при каждом из этих переходов.
Сохранение истинности в логическом квадрате
Сохранение истинности в логическом квадрате
- A → O (универсально-утвердительное → частно-отрицательное)
- Пример: "Все S суть P" → "Некоторые S не суть P".
- Истинность: В этом переходе истинность не сохраняется. Если утверждение A (универсально-утвердительное) истинно, то утверждение O (частно-отрицательное) обязательно ложно, и наоборот.
- E → I (универсально-отрицательное → частно-утвердительное)
- Пример: "Ни одно S не является P" → "Некоторые S суть P".
- Истинность: Здесь также не сохраняется истинность. Если E истинно, то I обязательно ложно, и наоборот.
- I → E (частно-утвердительное → универсально-отрицательное)
- Пример: "Некоторые S суть P" → "Ни одно S не является P".
- Истинность: В этом переходе истинность не сохраняется. Если частно-утвердительное утверждение I истинно, то универсально-отрицательное E будет ложным, и наоборот.
- O → A (частно-отрицательное → универсально-утвердительное)
- Пример: "Некоторые S не суть P" → "Все S суть P".
- Истинность: Здесь также не сохраняется. Если O истинно, то A обязательно ложно, и наоборот.
- Переходы между противоположными по форме утверждениями (например, между A и E, I и O) называются отношениями противоречия, и они всегда находятся в оппозиции друг к другу (если одно утверждение истинно, то другое ложно). Однако существуют и другие отношения между типами утверждений:
- A ↔ I (универсально-утвердительное и частно-утвердительное)
- Пример: "Все S суть P" и "Некоторые S суть P".
- Истинность: Если A истинно, то I также истинно (частный случай). Но если A ложно, I может быть как истинным, так и ложным (это зависит от конкретной ситуации).
- Таким образом, истинность может сохраняться при переходе от A к I.
- E ↔ O (универсально-отрицательное и частно-отрицательное)
- Пример: "Ни одно S не является P" и "Некоторые S не суть P".
- Истинность: Если E истинно, то O также истинно. Но если E ложно, то O может быть как истинным, так и ложным.
- Истинность может сохраняться при переходе от E к O.
- A → O ("Все S суть P" → "Некоторые S не суть P")
- Истинность не сохраняется (если одно истинно, другое ложно).
- E → I ("Ни одно S не суть P" → "Некоторые S суть P")
- Истинность не сохраняется (если одно истинно, другое ложно).
- I → E ("Некоторые S суть P" → "Ни одно S не суть P")
- Истинность не сохраняется (если одно истинно, другое ложно).
- O → A ("Некоторые S не суть P" → "Все S суть P")
- Истинность не сохраняется (если одно истинно, другое ложно).
- A ↔ I ("Все S суть P" ↔ "Некоторые S суть P")
- Истинность может сохраняться (если A истинно, то I обязательно истинно).
- E ↔ O ("Ни одно S не суть P" ↔ "Некоторые S не суть P")
- Истинность может сохраняться (если E истинно, то O обязательно истинно).
Контрапозиция и её преобразования
Операция Contrapositive и её название по-русски
В формальной логике операция contrapositive (по-русски — контрапозиция) — это логическая операция, которая преобразует импликацию вида:
"Если P, то Q" (записывается как P → Q)
в её контрапозитив:
"Если не Q, то не P" (записывается как ¬Q → ¬P).
Контрапозиция — это форма преобразования, которая сохраняет логическую эквивалентность исходного выражения. То есть, утверждение и его контрапозиция всегда имеют одинаковую истинность.
Пример:
Важно отметить, что контрапозиция отличается от таких операций, как обратное утверждение (Q → P) и противоположное утверждение (¬P → ¬Q), которые не всегда эквивалентны исходной импликации.
Полный список вариантов операции контрапозиции
Операция контрапозиции заключается в преобразовании импликации P → Q в форму ¬Q → ¬P, и она представляет собой один из нескольких возможных способов преобразования исходного высказывания.
Вот полный список основных логических преобразований, которые можно применить к импликации P → Q, и их особенности:
1. Исходная импликация
P → Q
Чтение: "Если P, то Q".
2. Контрапозиция (Contrapositive)
¬Q → ¬P
Чтение: "Если не Q, то не P".
Это логически эквивалентное преобразование. Импликация и её контрапозиция всегда имеют одинаковую истинностную таблицу.
3. Обратное утверждение (Converse)
Q → P
Чтение: "Если Q, то P".
Обратное утверждение не эквивалентно исходной импликации, хотя в некоторых случаях может быть истинным, но это не гарантируется.
4. Противоположное утверждение (Inverse)
¬P → ¬Q
Чтение: "Если не P, то не Q".
Противоположное утверждение тоже не эквивалентно исходной импликации, но, как и в случае обратного утверждения, оно может быть истинным в некоторых случаях.
Детализация примеров
Пример для всех вариантов:
Исходное утверждение: "Если идёт дождь (P), то улица мокрая (Q)".
Контрапозиция — это наиболее важная операция среди этих преобразований, поскольку она логически эквивалентна исходному утверждению. Обратное и противоположное утверждения могут быть ложными, даже если исходное утверждение истинно.
Операция Contrapositive и её название по-русски
В формальной логике операция contrapositive (по-русски — контрапозиция) — это логическая операция, которая преобразует импликацию вида:
"Если P, то Q" (записывается как P → Q)
в её контрапозитив:
"Если не Q, то не P" (записывается как ¬Q → ¬P).
Контрапозиция — это форма преобразования, которая сохраняет логическую эквивалентность исходного выражения. То есть, утверждение и его контрапозиция всегда имеют одинаковую истинность.
Пример:
- Исходное утверждение: "Если идет дождь (P), то улица мокрая (Q)".
- Контрапозиция: "Если улица не мокрая (не Q), значит, дождя не было (не P)".
Важно отметить, что контрапозиция отличается от таких операций, как обратное утверждение (Q → P) и противоположное утверждение (¬P → ¬Q), которые не всегда эквивалентны исходной импликации.
Полный список вариантов операции контрапозиции
Операция контрапозиции заключается в преобразовании импликации P → Q в форму ¬Q → ¬P, и она представляет собой один из нескольких возможных способов преобразования исходного высказывания.
Вот полный список основных логических преобразований, которые можно применить к импликации P → Q, и их особенности:
1. Исходная импликация
P → Q
Чтение: "Если P, то Q".
2. Контрапозиция (Contrapositive)
¬Q → ¬P
Чтение: "Если не Q, то не P".
Это логически эквивалентное преобразование. Импликация и её контрапозиция всегда имеют одинаковую истинностную таблицу.
3. Обратное утверждение (Converse)
Q → P
Чтение: "Если Q, то P".
Обратное утверждение не эквивалентно исходной импликации, хотя в некоторых случаях может быть истинным, но это не гарантируется.
4. Противоположное утверждение (Inverse)
¬P → ¬Q
Чтение: "Если не P, то не Q".
Противоположное утверждение тоже не эквивалентно исходной импликации, но, как и в случае обратного утверждения, оно может быть истинным в некоторых случаях.
Детализация примеров
Пример для всех вариантов:
Исходное утверждение: "Если идёт дождь (P), то улица мокрая (Q)".
- Исходная импликация: "Если идёт дождь, то улица мокрая" (P → Q).
- Контрапозиция: "Если улица не мокрая, то дождя не было" (¬Q → ¬P).
- Обратное утверждение: "Если улица мокрая, значит, идёт дождь" (Q → P).
- Противоположное утверждение: "Если дождя не было, то улица не мокрая" (¬P → ¬Q).
Контрапозиция — это наиболее важная операция среди этих преобразований, поскольку она логически эквивалентна исходному утверждению. Обратное и противоположное утверждения могут быть ложными, даже если исходное утверждение истинно.
Контрапозиция в терминах логического квадрата
Операция контрапозиции в терминах логического квадрата — это важное преобразование, которое можно рассмотреть на уровне взаимодействий между четырьмя основными типами высказываний, составляющих логический квадрат. Вот как контрапозиция действует в этом контексте.
Логический квадрат: основные элементы
Логический квадрат состоит из четырёх типов высказываний, которые связаны между собой по различным типам отношений:
Исходное утверждение: Все P являются Q (∀P: P → Q).
Контрапозиция: Если не Q, то не P (∀¬Q: ¬Q → ¬P).
Контрапозиция для общего утвердительного высказывания всегда истинна, если исходное утверждение истинно. Они логически эквивалентны.
2. Контрапозиция для E-высказываний (Общая отрицательная)
Исходное утверждение: Ни один P не является Q (∀P: P → ¬Q).
Контрапозиция: Если не Q, то не P (∀¬Q: ¬Q → ¬P).
Для общего отрицательного высказывания контрапозиция также логически эквивалентна исходному утверждению.
3. Контрапозиция для I-высказываний (Частная утвердительная)
Исходное утверждение: Некоторые P являются Q (∃P: P → Q).
Контрапозиция: Некоторые не Q, значит, не P (∃¬Q: ¬Q → ¬P).
Для частного утвердительного высказывания контрапозиция не эквивалентна исходному утверждению.
4. Контрапозиция для O-высказываний (Частная отрицательная)
Исходное утверждение: Некоторые P не являются Q (∃P: P → ¬Q).
Контрапозиция: Некоторые не Q, значит, не P (∃¬Q: ¬Q → ¬P).
Для частного отрицательного высказывания контрапозиция также не эквивалентна исходному утверждению.
Итог в терминах логического квадрата:
Операция контрапозиции в терминах логического квадрата — это важное преобразование, которое можно рассмотреть на уровне взаимодействий между четырьмя основными типами высказываний, составляющих логический квадрат. Вот как контрапозиция действует в этом контексте.
Логический квадрат: основные элементы
Логический квадрат состоит из четырёх типов высказываний, которые связаны между собой по различным типам отношений:
- A (Общая утвердительная): Все P являются Q (∀P: P → Q).
- E (Общая отрицательная): Ни один P не является Q (∀P: P → ¬Q).
- I (Частная утвердительная): Некоторые P являются Q (∃P: P → Q).
- O (Частная отрицательная): Некоторые P не являются Q (∃P: P → ¬Q).
Исходное утверждение: Все P являются Q (∀P: P → Q).
Контрапозиция: Если не Q, то не P (∀¬Q: ¬Q → ¬P).
Контрапозиция для общего утвердительного высказывания всегда истинна, если исходное утверждение истинно. Они логически эквивалентны.
2. Контрапозиция для E-высказываний (Общая отрицательная)
Исходное утверждение: Ни один P не является Q (∀P: P → ¬Q).
Контрапозиция: Если не Q, то не P (∀¬Q: ¬Q → ¬P).
Для общего отрицательного высказывания контрапозиция также логически эквивалентна исходному утверждению.
3. Контрапозиция для I-высказываний (Частная утвердительная)
Исходное утверждение: Некоторые P являются Q (∃P: P → Q).
Контрапозиция: Некоторые не Q, значит, не P (∃¬Q: ¬Q → ¬P).
Для частного утвердительного высказывания контрапозиция не эквивалентна исходному утверждению.
4. Контрапозиция для O-высказываний (Частная отрицательная)
Исходное утверждение: Некоторые P не являются Q (∃P: P → ¬Q).
Контрапозиция: Некоторые не Q, значит, не P (∃¬Q: ¬Q → ¬P).
Для частного отрицательного высказывания контрапозиция также не эквивалентна исходному утверждению.
Итог в терминах логического квадрата:
- A (Общая утвердительная): Контрапозиция верна и эквивалентна.
- E (Общая отрицательная): Контрапозиция верна и эквивалентна.
- I (Частная утвердительная): Контрапозиция неверна и неэквивалентна.
- O (Частная отрицательная): Контрапозиция неверна и неэквивалентна.
Связь операций Converse, Contrapositive, Inverse и отрицания
Операции converse, contrapositive, inverse и отрицание — это логические преобразования, которые связаны между собой иерархически и понятийно через их отношение к исходной импликации и процессу обращения или отрицания её частей. Эти операции играют важные роли в логике и формальных системах, каждая выполняет свою функцию в изменении структуры утверждения.
Рассмотрим их взаимосвязь на примере импликации P → Q.
1. Импликация P → Q
Исходное утверждение: "Если P, то Q".
Отрицание — это базовая операция, которая применяется к отдельным частям импликации или утверждения в целом:
3. Обратное утверждение (Converse)
Converse — это операция, которая заключается в перестановке местами посылки и заключения:
4. Инверсия (Inverse)
Inverse — это операция, при которой и посылка, и заключение исходного утверждения подвергаются отрицанию:
5. Контрапозиция (Contrapositive)
Contrapositive — это операция, которая объединяет элементы отрицания и перестановки местами:
Иерархические связи
Все эти операции связаны через изменения в посылке и заключении импликации, с использованием отрицания и перестановки. Рассмотрим их иерархию:
ОперацияФормулаОписание
Импликация
P → Q
Исходное утверждение
Отрицание
¬P, ¬Q
Отрицание отдельных частей
Converse
Q → P
Обратное утверждение (перестановка)
Inverse
¬P → ¬Q
Инверсия (отрицание обеих частей)
Contrapositive
¬Q → ¬P
Контрапозиция (перестановка и отрицание)
Converse изменяет только порядок, но не отрицает.
Inverse применяет отрицание, но не изменяет порядок.
Contrapositive объединяет оба действия — и отрицание, и изменение порядка.
Отрицание — базовая операция, которая может применяться к любой части импликации для создания inverse и contrapositive.
Операции converse, contrapositive, inverse и отрицание — это логические преобразования, которые связаны между собой иерархически и понятийно через их отношение к исходной импликации и процессу обращения или отрицания её частей. Эти операции играют важные роли в логике и формальных системах, каждая выполняет свою функцию в изменении структуры утверждения.
Рассмотрим их взаимосвязь на примере импликации P → Q.
1. Импликация P → Q
Исходное утверждение: "Если P, то Q".
- P — это посылка.
- Q — это заключение.
Отрицание — это базовая операция, которая применяется к отдельным частям импликации или утверждения в целом:
- Отрицание P: ¬P — "Не P".
- Отрицание Q: ¬Q — "Не Q".
3. Обратное утверждение (Converse)
Converse — это операция, которая заключается в перестановке местами посылки и заключения:
- Исходное утверждение: P → Q ("Если P, то Q").
- Converse: Q → P ("Если Q, то P").
4. Инверсия (Inverse)
Inverse — это операция, при которой и посылка, и заключение исходного утверждения подвергаются отрицанию:
- Исходное утверждение: P → Q ("Если P, то Q").
- Inverse: ¬P → ¬Q ("Если не P, то не Q").
5. Контрапозиция (Contrapositive)
Contrapositive — это операция, которая объединяет элементы отрицания и перестановки местами:
- Исходное утверждение: P → Q ("Если P, то Q").
- Contrapositive: ¬Q → ¬P ("Если не Q, то не P").
- Отрицает и посылку, и заключение.
- Меняет их порядок.
Иерархические связи
Все эти операции связаны через изменения в посылке и заключении импликации, с использованием отрицания и перестановки. Рассмотрим их иерархию:
ОперацияФормулаОписание
Импликация
P → Q
Исходное утверждение
Отрицание
¬P, ¬Q
Отрицание отдельных частей
Converse
Q → P
Обратное утверждение (перестановка)
Inverse
¬P → ¬Q
Инверсия (отрицание обеих частей)
Contrapositive
¬Q → ¬P
Контрапозиция (перестановка и отрицание)
Converse изменяет только порядок, но не отрицает.
Inverse применяет отрицание, но не изменяет порядок.
Contrapositive объединяет оба действия — и отрицание, и изменение порядка.
Отрицание — базовая операция, которая может применяться к любой части импликации для создания inverse и contrapositive.
Парадокс "Лжец" (или "Я лгу") — это утверждение, которое гласит: "Это утверждение ложно" или "Я лгу". Если это утверждение истинно, то оно, как оно само заявляет, ложно. Но если оно ложно, то оно, наоборот, истинно. Возникает противоречие: утверждение не может быть ни истинным, ни ложным без того, чтобы нарушить одно из условий.
Альфред Тарский, польский логик и философ, предложил решение этого парадокса, разработав теорию "иерархии языков". Основная идея Тарского заключается в том, что утверждения о правде или лжи должны существовать на разных уровнях языка — "объектных" и "метаязыках".
Как работает подход Тарского?
Предположим, что утверждение "Я лгу" формулируется на объектном языке. Если мы хотим оценить, истинно оно или ложно, нам необходимо выйти на уровень метаязыка и проанализировать это утверждение. Однако, так как утверждение ссылается на само себя, а в иерархии языков это не допускается, мы избегаем ситуации, где само утверждение может быть одновременно истинным и ложным.
Вывод
Метод Тарского решает парадокс "Лжеца" путем разграничения уровней языка, запрещая утверждения, которые ссылаются на собственную истинность или ложность. Этот подход используется не только для парадокса "Лжеца", но и для многих других логических и философских парадоксов, связанных с самореференцией.
Альфред Тарский, польский логик и философ, предложил решение этого парадокса, разработав теорию "иерархии языков". Основная идея Тарского заключается в том, что утверждения о правде или лжи должны существовать на разных уровнях языка — "объектных" и "метаязыках".
Как работает подход Тарского?
- Объектный язык и метаязык: Тарский разделяет уровни языка. На одном уровне (объектный язык) формулируются сами утверждения, а на другом уровне — метаязыке — мы говорим о том, истинны или ложны эти утверждения. Например, утверждение "Я лгу" находится на объектном языке, но утверждение "Фраза 'Я лгу' истинна" или "Фраза 'Я лгу' ложна" — это уже метаязык.
- Запрет самореференции: Тарский предлагает, что объектный язык не может содержать утверждений о собственной истинности или ложности. Всякий раз, когда мы говорим о правде или лжи какого-то утверждения, мы должны перейти на уровень выше (метаязык). Если мы продолжаем следовать этой логике и говорим о правде или лжи утверждений на метаязыке, нам потребуется еще один, более высокий уровень — "мета-метаязык".
- Избегание противоречий: Используя иерархию языков, Тарский показывает, что парадокса можно избежать, если запрещать утверждения, которые утверждают свою ложность на одном и том же уровне языка. Если утверждение не ссылается само на себя (например, "Я лгу"), то оно не создает противоречия, так как его истинность или ложность можно оценить с позиции метаязыка.
Предположим, что утверждение "Я лгу" формулируется на объектном языке. Если мы хотим оценить, истинно оно или ложно, нам необходимо выйти на уровень метаязыка и проанализировать это утверждение. Однако, так как утверждение ссылается на само себя, а в иерархии языков это не допускается, мы избегаем ситуации, где само утверждение может быть одновременно истинным и ложным.
Вывод
Метод Тарского решает парадокс "Лжеца" путем разграничения уровней языка, запрещая утверждения, которые ссылаются на собственную истинность или ложность. Этот подход используется не только для парадокса "Лжеца", но и для многих других логических и философских парадоксов, связанных с самореференцией.